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몬티홀 딜레마: 수학적 분석과 통계적 해석

**몬티홀 딜레마(Monty Hall Dilemma)**는 1970년대 미국의 게임쇼인 *"Let's Make a Deal"*에서 유래한 문제로, 참가자가 선택을 변경할지 말지를 결정하는 수학적 문제입니다. 이 문제는 확률, 통계, 그리고 직관 사이의 차이를 보여주는 전형적인 예로 널리 알려져 있습니다. 이 글에서는 몬티홀 딜레마의 기본적인 설명과 이를 수학적으로 분석하여, 직관적인 접근이 어떻게 잘못될 수 있는지를 살펴보겠습니다.

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문제의 설정

게임의 기본 규칙은 다음과 같습니다:

1. 세 개의 문: 참가자는 세 개의 문 앞에 서 있습니다. 각 문 뒤에는 하나의 물건이 있습니다. 두 문 뒤에는 염소가 있고, 하나의 문 뒤에는 자동차가 있습니다.
2. 첫 번째 선택: 참가자는 처음에 하나의 문을 선택합니다. 예를 들어, "문 A"를 선택한다고 가정합니다.
3. 문 열기: 진행자는 자동차가 있는 문을 제외한 다른 문을 열어 염소가 있는 것을 보여줍니다. 예를 들어, "문 B" 뒤에 염소가 있음을 보여줍니다.
4. 선택 변경: 진행자는 참가자에게 처음 선택한 문을 그대로 둘 것인지, 아니면 남은 문(자동차가 있을 수 있는 문)을 선택할 것인지를 묻습니다.

질문: 참가자는 선택을 바꿔야 할까요, 아니면 처음 선택을 유지해야 할까요?

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직관적인 접근

직관적으로는 두 번째 선택을 바꾸지 않아도 될 것 같다고 느낄 수 있습니다. 자동차가 숨겨진 문이 세 개 중 하나이므로, 선택을 바꾸든 안 바꾸든 각 문에 자동차가 있을 확률은 1/3로 같지 않을까요? 하지만 실제로는 그렇지 않습니다.

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수학적 해석

몬티홀 딜레마에서의 핵심은 확률의 조건부 변화입니다. 처음 선택한 문이 자동차가 있을 확률은 1/3이고, 염소가 있을 확률은 2/3입니다. 그러나 진행자가 염소가 있는 문을 보여주는 과정에서 확률이 변하게 됩니다.

1. 처음 선택을 바꾸지 않는 경우

처음 선택한 문이 자동차일 확률은 1/3입니다. 즉, 자동차가 뒤에 숨겨져 있을 확률은 처음 선택한 문에 대해 1/3이고, 나머지 두 문에 대해 합쳐서 2/3입니다. 만약 처음 선택을 바꾸지 않으면, 자동차를 얻을 확률은 1/3로 변하지 않습니다.

2. 선택을 바꾸는 경우

진행자가 염소가 있는 문을 열었을 때, 자동차가 남은 문에 있을 확률은 2/3로 증가합니다. 이 이유는 처음에 2/3 확률로 자동차가 숨겨져 있었기 때문입니다. 선택을 바꾸면 2/3 확률로 자동차를 얻을 수 있습니다.

따라서, 선택을 바꾸는 것이 더 유리한 전략입니다. 수학적으로, 선택을 바꾸면 자동차를 얻을 확률이 2/3이고, 바꾸지 않으면 1/3입니다.

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시뮬레이션을 통한 검증

직관적으로 확률이 어떻게 변하는지 이해하는 것이 어려울 수 있습니다. 이를 실험적으로 검증해보겠습니다. 1,000번의 게임을 시뮬레이션하여 처음 선택을 바꾸는 전략과 바꾸지 않는 전략의 결과를 비교해 보겠습니다.

python

코드 복사

import random def monty_hall(simulations=1000): switch_wins = 0 stay_wins = 0 for _ in range(simulations): # 자동차를 숨길 문 선택 car = random.randint(0, 2) # 참가자가 선택한 문 player_choice = random.randint(0, 2) # 진행자가 염소가 있는 문을 열었을 때 # 열지 않은 문 중 염소가 있는 문을 열어야 하므로, 선택할 수 있는 문을 제외 remaining_choices = [0, 1, 2] remaining_choices.remove(player_choice) if car in remaining_choices: remaining_choices.remove(car) # 자동차가 있는 문을 제외 host_choice = random.choice(remaining_choices) # 진행자가 염소가 있는 문 선택 # 선택을 바꾸지 않은 경우 if player_choice == car: stay_wins += 1 # 선택을 바꾼 경우 switch_choice = 3 - player_choice - host_choice # 바꾼 문 if switch_choice == car: switch_wins += 1 return stay_wins, switch_wins stay_wins, switch_wins = monty_hall() stay_win_percentage = stay_wins / 1000 * 100 switch_win_percentage = switch_wins / 1000 * 100 stay_win_percentage, switch_win_percentage

이 시뮬레이션 결과를 통해, 처음 선택을 바꾸지 않은 경우와 바꾼 경우의 승률을 확인할 수 있습니다. 일반적으로 처음 선택을 바꾸지 않으면 약 33%의 승률을 보이고, 선택을 바꾸면 약 67%의 승률을 기록하게 됩니다.

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결론

몬티홀 딜레마는 우리가 확률을 어떻게 이해하고 적용하는지에 대한 중요한 교훈을 제공합니다. 많은 사람들이 직관적으로 "선택을 바꾸면 승률이 달라지지 않는다"고 생각하지만, 수학적으로는 선택을 바꾸는 것이 훨씬 유리한 전략임을 알 수 있습니다. 이 문제는 확률이 어떻게 동적으로 변할 수 있는지, 그리고 조건부 확률의 중요성을 잘 보여주는 예입니다.

따라서 몬티홀 딜레마는 확률과 직관의 차이를 이해하고, 수학적 사고가 실생활의 문제 해결에 어떻게 도움을 줄 수 있는지를 잘 보여주는 예시라 할 수 있습니다.